Mehrdimensionale Szenarienbäume

Die stochastische Optimierung basiert auf der Erzeugung von Szenariobäumen, bei denen unterschiedliche Szenarios einen gemeinsamen Ursprung haben, bevor sie sich verästeln. Dies ist ein wesentlicher Unterschied zur Monte-Carlo-Simulation, bei der viele unabhängige, einzelne Szenariopfade verwendet werden. Es gibt verschiedene mathematische Konzepte zur Erzeugung von Szenariobäumen, die alternativ in den Produkten von DTrees eingesetzt werden können. Jeder einzelne Knotenpunkt eines Szenariobaums trägt mögliche zukünftige Zustände wichtiger unvorhersehbarer Einflüsse, die entscheidend sein können für die Betriebsführung eines Kraftwerksparks oder für wesentliche Handelsentscheidungen in einem Portfolio. Diese unsicheren Einflüsse sind zum Beispiel:

  • Spotmarktpreise
  • Terminmarktpreise
  • Vertriebslast
  • Windaufkommen
  • der Zufluss zu Wasserspeichern
  • ...

Jeder Pfad des Szenariobaums stellt eine diskrete, gemeinsame Entwicklung all dieser Einflüsse dar, die zusammengenommen einen mehrdimensionalen Szenariobaum ergeben. Die Werte für die Entwicklung der mehrdimensionalen Knotenpunkte werden basierend auf speziellen stochastischen Prozessen berechnet. Die Parametrierung dieser Prozesse erfolgt aus der Analyse der historischen Entwicklung der unsicheren Einflussfaktoren. Diese sind zum Beispiel:

  • Erwartete Entwicklung
  • Volatilität 
  • Mean Reversion
  • Sprungdynamik
  • Korrelation

Insbesondere bei der Preisentwicklung  des EEX-Spotpreises werden spezielle stochastische Prozesse, wie die Jump Diffusion und Mean Reversion Prozesse, zur Berechnung der Preiskomponenten des mehrdimensionalen Baums verwendet.  

Eine beispielhafte Entwicklung der Spotpreiskomponente des Szenariobaums ist unten dargestellt. Abhängig von der erwarteten Entwicklung, der Volatilität, Mean Reversion sowie der Sprungdynamik sind die Spotpreisszenarios über eine mehr oder weniger breit gefächerte Bandbreite verteilt.  

Je nach Planungshorizont, den der Szenariobaum abdecken soll, kann die Zeiteinheit zwischen den Verzweigungen im Baum Monate, Wochen, Tage, Stunden oder eine Kombination derselben umfassen. Jeder Szenarioknoten ist als Verschiebung der stündlichen Price Forward Curve zu verstehen.

Von Szenariobäumen zu Entscheidungsbäumen

Das Konzept der stochastischen Optimierung basiert auf der Bestimmung optimaler Entscheidungen in jedem Knotenpunkt des Szenariobaums. Die Entscheidungen in einem Knoten werden bestimmt unter Berücksichtigung einer eindeutigen Vorgeschichte der unsicheren Einflussfaktoren und der Entscheidungen bis hin zu einem Knoten aller folgenden Szenarios.

In jedem Verzweigungszeitpunkt des Szenariobaums werden also verschiedene Entscheidungen auf Grund der individuellen Situation (Knoten) vorgeschlagen. Mit der Verknüpfung dieser Entscheidungen zu den vorherigen, wie zum Beispiel über die Portfolio-Sollwerte oder die Ressourcenbilanzen, werden alle vorangegangenen Entscheidungen optimal mit den verschiedenen zukünftigen Entscheidungen in dem jeweiligen Szenario verknüpft. Daher ist die aktuelle Entscheidung unter Einbeziehung aller zukünftigen unsicheren Entwicklungen und potentiellen zukünftigen Entscheidungen, die die Szenarien einschließen, optimal bestimmt.

Mit der Optimierung der Entscheidungen in jedem Knoten der Szenariobäume erhalten wir Entscheidungsbäume, von denen abgeleitet werden kann, wie in einem bestimmten Szenariopfad die optimale Abfolge der Entscheidungen ist. Insbesondere wird für den Wurzelknoten - viel wichtiger - bestimmt, wie jetzt entschieden werden soll, unter Berücksichtigung vieler möglicher zukünftiger Entwicklungen und ihrer optimalen Reaktionen darauf.

Mathematische Modellformulierung

Zusammen mit der mathematischen Formulierung des Optimierungsproblems, das sich aus einer Zielfunktion und der Matrix der Restriktionen zusammensetzt, definiert der mehrdimensionale Szenariobaum das mathematische Modell, welches es zu lösen gilt. Die Zielfunktion kann z.B. die Minimierung der Beschaffungskosten oder die Maximierung der Gewinne abbilden

Entscheidend ist, dass jedes Szenario mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit in die Zielfunktion einfließt. Alle Beschränkungen des Modells, wie die Ressourcen- oder Portfoliobilanzen, Obergrenzen bei der Stromerzeugung, der Beschaffung und dem Verkauf müssen für jedes Szenario gleichermaßen erfüllt sein. Die unten aufgeführte Graphik zeigt die Erweiterung des mathematischen Modells im Hinblick auf die Verästelung des Szenariobaums. Alle Restriktionen müssen für alle Szenariopfade erfüllt sein.

Mit diesem mathematischen Modellansatz können früh zu treffende Entscheidungen und zukünftige punktuelle Einflüsse, wie sie beim Terminhandel auftreten, dargestellt werden. Diese Einzelentscheidungen werden unter Einbeziehung aller möglichen Preisszenarien, die in der Zukunft einsetzen könnten, optimiert.

Lösung des mathematischen Modells

Wie man der folgenden Graphik entnehmen kann, wird das mathematische Modell von IBM ILOG CPLEX bzw. Gurobi gelöst. DTrees verfügt über umfangreiche Erfahrung in der Konfiguration von Solvern, so dass die Rechenzeit zur Lösung des Modells minimiert wird. Verschiedene Lösungsalgorithmen sowie Konfigurationen stehen zur Auswahl, abhängig von der Struktur des zu lösenden Modells.

Nach der Lösung des Modells werden schließlich alle optimierten Entscheidungen ausgegeben. Aber nur die Entscheidungen der ersten Stufe (Wurzelknoten des Szenariobaumes) werden in die Praxis umgesetzt, alle Entscheidungen weiterer Stufen potentieller Szenarien würden nur dann umgesetzt, wenn ein Szenario tatsächlich eintritt. In zukünftigen Situationen werden daher neue Modellrechnungen auf der Grundlage neuer Informationen über Unsicherheiten durchgeführt. Dieser Ansatz wird in der Fachsprache rollierende Optimierung genannt.